Θεωρητικός κύκλος τετράχρονου κινητήρα

1. Ορισμός - Παραδοχές

Ο θεωρητικός κύκλος λειτουργίας ενός τετράχρονου κινητήρα δεν ταυτίζεται με τον αντίστοιχο πραγματικό ανοιχτό κύκλο λειτουργίας του (δυναμοδεικτικό διάγραμμα), αλλά αποτελεί μια θεωρητική προσέγγισή του, με βάση τους γνωστούς θερμοδυναμικούς κύκλους Otto, Diesel και μικτό. Η προσέγγιση αυτή χρειάζεται για να συγκρίνεται η λειτουργία ενός κινητήρα με θερμοδυναμικούς κύκλους, που αποτελούν μια απλή και γνωστή βάση για σύγκριση. Έτσι γίνεται αναγωγή σε έναν θερμοδυναμικά ισοδύναμο κύκλο. Το δυναμοδεικτικό διάγραμμα ενός κινητήρα Otto και ενός κινητήρα Diesel μοιάζει πάρα πολύ με το θεωρητικό διάγραμμα του μικτού κύκλου. Οπότε ο μικτός κύκλος αποτελεί τον θεωρητικό ισοδύναμο κύκλο λειτουργίας ενός τετράχρονου κινητήρα.
Στον μικτό θεωρητικό κύκλο ακολουθούνται οι εξής παραδοχές:

  • Το εργαζόμενο μέσο είναι αέρας και θεωρείται τέλειο αέριο αμετάβλητης ποσότητας και σύστασης.
  • Η ειδικές θερμοχωρητικότητες υπό σταθερή πίεση cp και υπό σταθερό όγκο cv του εργαζόμενου μέσου, καθώς και ο εκθέτης της αδιαβατικής μεταβολής γ θεωρούνται σταθερά μεγέθη, ανεξάρτητα της θερμοκρασίας και ίσα με:
(1)
\begin{equation} c_p = 1.0048kJ/kgK \end{equation}
(2)
\begin{equation} c_v = 0.7177kJ/kgK \end{equation}
(3)
\begin{equation} γ = 1.4 \end{equation}
  • Η ισόογκη και η ισόθλιπτη πρόσδωση θερμότητας αντιστοιχεί με την καύση του μίγματος.
  • Η μεταβολές της συμπίεσης και της εκτόνωσης θεωρούνται αδιαβατικές.
  • Δεν λαμβάνεται υπόψη ο ρυθμός πρόσδωσης θερμότητας.
  • Η θερμογόνος δύναμη του καυσίμου θεωρείται σταθερή.
Theoretical_Sabathe_process.gif
Από το παραπάνω σχήμα, οι μεταβολές του αερίου που λαμβάνουν χώρα στο μικτό κύκλο είναι οι ακόλουθες:
  • 1-2: Αδιαβατική συμπίεση
  • 2-3: Πρόσδωση θερμότητας υπό σταθερό όγκο
  • 3-4: Πρόσδωση θερμότητας υπό σταθερή πίεση
  • 4-5: Αδιαβατική εκτόνωση
  • 5-1: Αποβολή θερμότητας υπό σταθερό όγκο

Από τη θερμοδυναμική για ιδανικό αέριο ισχύουν τα ακόλουθα θερμοδυναμικά και ενεργειακά μεγέθη για την κάθε μεταβολή.

1. Αδιαβατική συμπίεση 1-2

(4)
\begin{align} p_2 v_2^ \gamma = p_1 v_1^ \gamma <=> \frac {p_2} {p_1} = \left(\frac {v_1} {v_2}\right) ^ \gamma\\ T_2 v_2^ \left(\gamma-1\right) = T_1 v_1^ \left(\gamma-1\right) <=> \frac {T_2} {T_1} = \left(\frac {v_1} {v_2}\right) ^ \left(\gamma-1\right) \end{align}

Από το 1ο θερμοδυναμικό αξίωμα για κλειστό σύστημα:

(5)
\begin{align} w_{v1-2} = \int_{v_1}^{v_2} p(v)\, \mathrm {d}v = \frac {p_2 v_2 - p_1 v_1} {\gamma-1} = \frac {R (T_2 - T_1)} {\gamma - 1} = \frac {1} {\gamma - 1} R T_1 \left[\left(\frac {p_2} {p_1}\right)^\frac {\gamma - 1} {\gamma} - 1\right ] \end{align}

και για ανοικτό σύστημα:

(6)
\begin{align} w_{t1-2} = \int_{p_1}^{p_2} v(p)\, \mathrm {d}p =\gamma \frac {p_2 v_2 - p_1 v_1} {\gamma-1} = \gamma \frac {R (T_2 - T_1)} {\gamma - 1} = \frac {\gamma} {\gamma - 1} R T_1 \left[\left(\frac {p_2} {p_1}\right)^\frac {\gamma - 1} {\gamma} - 1\right ] \end{align}

2. Ισόχωρη πρόσδωση θερμότητας 2-3

(7)
\begin{align} \frac {T_3} {T_2}= \frac {p_3} {p_2} = \frac {p_4} {p_2} = \psi \end{align}

p3 = p4
Ο παραπάνω λόγος ονομάζεται Λόγος πιέσεων ψ κατά την ισόχωρη καύση 2-3.
Από το 1ο θερμοδυναμικό αξίωμα:

(8)
\begin{align} q_{2-3} = c_v (T_3 - T_2)\\ w_{t2-3} = v_2 (p_3 - p_2) \end{align}

3. Ισόθλιπτη πρόσδωση θερμότητας 3-4

(9)
\begin{align} \frac {T_4} {T_3}= \frac {v_4} {v_3} = \frac {v_4} {v_2} = \varphi \end{align}

υ3 = υ2
Ο παραπάνω λόγος ονομάζεται Βαθμός προεκτόνωσης φ κατά την ισόθλιπτη καύση 3-4.
Από το 1ο θερμοδυναμικό αξίωμα:

(10)
\begin{align} q_{3-4} = c_p (T_4 - T_3)\\ w_{3-4} = p_3 (v_4 - v_3) \end{align}

4. Αδιαβατική εκτόνωση 4-5

(11)
\begin{align} p_5 v_5^ \gamma = p_4 v_4^ \gamma <=> \frac {p_5} {p_4} = \left(\frac {v_4} {v_5}\right) ^ \gamma\\ T_5 v_5^ \left(\gamma-1\right) = T_4 v_4^ \left(\gamma-1\right) <=> \frac {T_5} {T_4} = \left(\frac {v_4} {v_5}\right) ^ \left(\gamma-1\right) \end{align}

Από το 1ο θερμοδυναμικό αξίωμα για κλειστό σύστημα:

(12)
\begin{align} w_{v4-5} = \int_{v_4}^{v_5} p(v)\, \mathrm {d}v = \frac {p_4 v_4 - p_5 v_5} {\gamma-1} = \frac {R (T_4 - T_5)} {\gamma - 1}= \frac {1} {\gamma - 1} R T_4 \left[\left(\frac {p_5} {p_4}\right)^\frac {\gamma - 1} {\gamma} - 1\right ] \end{align}

υ5 = υ1
και για ανοικτό σύστημα:

(13)
\begin{align} w_{t4-5} = \int_{p_4}^{p_5} v(p)\, \mathrm {d}p = \gamma \frac {p_4 v_4 - p_5 v_5} {\gamma-1} = \gamma \frac {R (T_4 - T_5)} {\gamma - 1} = \frac {\gamma} {\gamma - 1} R T_4 \left[\left(\frac {p_5} {p_4}\right)^\frac {\gamma - 1} {\gamma} - 1\right ] \end{align}

5. Ισόχωρη αποβολή θερμότητας 5-1

(14)
\begin{align} \frac {T_5} {T_1}= \frac {p_5} {p_1} \end{align}

Διαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις (14) και (4), προκύπτει:

(15)
\begin{align} \frac {p_4 v_4^ \gamma} {p_2 v_2^ \gamma} = \frac {p_5 v_5^ \gamma} {p_1 v_1^ \gamma} \end{align}

κι επειδή υ1 = υ5, κι από τις σχέσεις (8), (11) και (18) προκύπτει:

(16)
\begin{align} \frac {T_5} {T_1}= \frac {p_5} {p_1} = \frac {p_4} {p_2} \left(\frac {v_4} {v_2}\right)^ \gamma = \psi \varphi^\gamma \end{align}

Από το 1ο θερμοδυναμικό αξίωμα:

(17)
\begin{align} q_{5-1} = c_v (T_5 - T_1)\\ w_{t5-1} = v_1 (p_5 - p_1) \end{align}

Ο λόγος:

(18)
\begin{align} \epsilon = \frac {v_1} {v_2} \end{align}

καλείται λόγος συμπίεσης και ορίζεται σαν ο λόγος του μέγιστου όγκου του θαλάμου καύσης προς τον όγκο του επιζήμιου χώρου.
Δείτε το Video

2. Βαθμός απόδοσης

Ο βαθμός απόδοσης μιας μηχανής δίνεται:

(19)
\begin{align} η_{th} = \frac {W_{out}} {Q_{in}} \end{align}

Προκύπτει τελικά για τον μικτό κύκλο:

(20)
\begin{align} η_{th_{dual}} = 1-\frac {1} {\epsilon ^ {\gamma -1}} \frac {\psi \varphi^\gamma -1} {\psi-1 +\gamma \psi (\varphi -1)} \end{align}

Αν στον μικτό κύκλο τεθεί λόγος πίεσης ψ=1, προκύπτει ο κύκλος Otto και ο βαθμός απόδοσης γίνεται:

(21)
\begin{align} η_{th_{otto}} = 1-\frac {1} {\epsilon ^ {\gamma -1}} \end{align}

Αν στον μικτό κύκλο τεθεί λόγος προεκτόνωσης φ=1, προκύπτει ο κύκλος Diesel:

(22)
\begin{align} η_{th_{diesel}} = 1-\frac {1} {\epsilon ^ {\gamma -1}} \frac {\varphi^\gamma -1} {\gamma (\varphi -1)} \end{align}

Τετράχρονος κύκλος Otto: δείτε το Video
Υπολογισμός κύκλου Diesel από το Georgia State University
Κύκλος Diesel


3. Βιβλιογραφία

1. Περικλής Χασιώτης (2006) Μηχανές Εσωτερικής Καύσης ΙΙ, Αθήνα: Ίων.
2. Κωνσταντίνος Ρακόπουλος () Αρχές εμβολοφόρων Μ.Ε.Κ., Αθήνα: Φούντας.